Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ， ， ， 與均為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）試問在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）點(diǎn)為的中點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）連接，根據(jù)題設(shè)條件可證四邊形為正方形，即可得，設(shè)與相交于點(diǎn)，根據(jù)△與△均為等邊三角形可證，即可證，從而證明平面平面；（2）由題設(shè)條件及（1）可知，建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合二面角的余弦值為，即可求出點(diǎn)的位置.

試題解析：（1）證明：連接，由于∥，點(diǎn)為的中點(diǎn)， ，

∴四邊形為正方形，可得

設(shè)與相交于點(diǎn)

又∵△與△均為等邊三角形

∴

在等腰△中，點(diǎn)為的中點(diǎn)

∴，且與相交于點(diǎn)，可得平面

又∵平面

∴平面平面．

（2）由，△與△均為等邊三角形，四邊形為正方形， 與相交于點(diǎn)，可知， ，所以，又平面平面，所以平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

可得， ， ，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， ，由， ，可得，故 ，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

，得，平面的一個(gè)法向量為，

由已知 ，解得

所以，在線段上存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，且點(diǎn)為的中點(diǎn)．