Question

【題目】已知點在函數的圖象上，數列的前項和為，數列的前 項和為，且是與的等差中項．

（）求數列的通項公式．

（）設，數列滿足，．求數列的前項和．

（）在（）的條件下，設是定義在正整數集上的函數，對于任意的正整數，，恒有成立，且（為常數，），試判斷數列是否為等差數列，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)見解析.

【解析】分析：（1）本題考查求數列的通項公式，用數列的前n項和求是列的通項公式，注意對于第一項的驗證，又根據等比中項解決問題，這一道題目比較困難，第一問考查的內容較多．
（2）構造新數列，構造數列時按照一般的方式來整理，整理后發現結果比較簡單，利用等比數列的前n項和公式求數列的和．
（3）本題證明數列是一個等差數列，應用等差數列的定義來證明，只要數列的連續兩項之差是一個常數，問題得證，證明是一個常數的過程是一個數列和函數綜合的過程，用到所給的函數的性質．

詳解：

（）依題意得，故．

又，即，

所以，當時，．

又也適合上式，

故．

（）因為，

，因此．

由于，所以是首項為，公比為的等比數列．

所以，所以．

所以．

（）方法一：

，

則．

所以．

因為已知為常數，則數列是等差數列．

方法二：

因為成立，且，

所以，

，

，

，

所以．

所以數列是等差數列．