Question

【題目】雙曲線的離心率為2，右焦點到它的一條漸近線的距離為 。

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）是否存在過點且與雙曲線的右支角不同的兩點的直線，當點滿足時，使得點在直線上的射影點滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在這樣的直線滿足條件，其方程為或

【解析】試題分析：（1）由點到直線的距離公式可知： ，結合即可求得，進而根據離心率可得，從而求得方程；

（2）（2）假設存在滿足條件的直線l，直線l的斜率不存在時，求得N，P，Q坐標，由，此時不滿足條件；當斜率存在時，設l的方程為y=k（x-2），代入雙曲線方程，由韋達定理及向量的數量積的坐標表示，即，代入即可求得k的值，求得直線方程．

試題解析：

（1）雙曲線焦點在x軸上，設右焦點為(c,0),一條漸近線為bx-ay=0.

由點到直線的距離公式可知： ,由，解得.

由雙曲線的離心率為，解得.

所以，雙曲線的方程為.

（2）因為，所以是的中點，

假設存在滿足條件的直線，

若直線的斜率不存在時，此時點即為，可解得，

所以，所以，此時不滿足條件。

若直線的斜率存在時，設斜率為，則的方程為，聯立，

得，要使得與雙曲線交于右支的不同的兩點，

須要，即，可得，

又，所以

又因為在直線上的射影為滿足，

所以，

所以，

即，

可得或，又因為，所以，即，

所以存在這樣的直線滿足條件，其方程為或。