Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2

2

，BC=4

2

，PA=2，點M在線段PD上．
（Ⅰ） 求證：AB⊥PC；
（Ⅱ） 若二面角M-AC-D的大小為45°，求AM的長．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,空間中直線與直線之間的位置關系,二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（Ⅰ）設E為BC的中點，連結AE，由已知條件推導出四邊形AECD為平行四邊形，從而得到AE⊥BC，AB⊥AC．由此能證明AB⊥平面PAC，從而得到AB⊥PC．
（Ⅱ）以A為坐標原點，以射線AE、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系A-xyz，利用向量法能求出AM的長．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，設E為BC的中點，連結AE，
則AD=EC，且AD∥EC，所以四邊形AECD為平行四邊形，
故AE⊥BC，又AE=BE=EC=2

2

，
所以∠ABC=∠ACB=45°，得AB⊥AC．
因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PA．
又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC．…（4分）
（Ⅱ）解：如圖，以A為坐標原點，
以射線AE、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，
建立空間直角坐標系A-xyz，
則A（0，0，0），E(2

2

，0，0)，B(2

2

，-2

2

，0)，C(2

2

，2

2

，0)，D(0，2

2

，0)，P（0，0，2）．
設

PM

=t

PD

(0≤t≤1)，M（0，y₀，z₀），
則f′(x)=

x(x-1)

2(x+1)

，

PD

=(0，2

2

，-2)，
所以y0=2

2

t，z0=2-2t，
即M(0，2

2

t，2-2t)，…（10分）
設

n

=（x₁，y₁，z₁）是平面AMC的一個法向量，
則

n • AC =2 2 x1+2 2 y1=0 n • AM =2 2 ty1+(2-2t)z1=0

，
令y1=

2

，得x1=-

2

，z1=

2t

t-1

，即

n

=(-

2

，

2

，

2t

t-1

)．
又

m

=（0，0，1）是平面ACD的一個法向量，
所以|cos＜

m

，

n

＞|=

| 2t t-1 |

4+( 2t t-1 )2

=cos45°，
解得t=

1

2

，即M為PD的中點，
故M(0，

2

，1)，…（13分）
所以

AM

=（0，

2

，1），
故AM的長|

AM

|=

2+1

=

3

．…（15分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查線段長的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．