Question

已知函數(shù)

   （I）求函數(shù)上的最小值；

   （II）求證：對(duì)一切，都有

Answer 1

【解】（I）f ′（x）＝lnx＋1，當(dāng)x∈（0，），f ′（x）＜0，f （x）單調(diào)遞減，

       當(dāng)x∈（，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）單調(diào)遞增．               ……2分

       ①0＜t＜t＋2＜，t無(wú)解；

       ②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜時(shí)，f （x）_min＝f （）＝－；

       ③≤t＜t＋2，即t≥時(shí)，f （x）在［t，t＋2］上單調(diào)遞增，f （x）_min＝f （t）＝tlnt；

       所以f （x）_min＝．                                           ……6分

       （II）問(wèn)題等價(jià)于證明xlnx＞－（x∈（0，＋∞）），

       由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取到．

       設(shè)m （x）＝－（x∈（0，＋∞）），則m ′（x）＝，易得m （x）_max＝m （1）＝－，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取到，

                       從而對(duì)一切x∈（0，＋∞），都有l(wèi)nx＞－．