Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，短軸兩個端點為A，B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若C，D分別是橢圓長軸的左右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P．求證：

OM

•

OP

為定值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的幾何性質求出a、b的值，從而寫出標準方程．
（2）設M（2，y₀），寫出直線CM的方程，并把它代入橢圓的方程，可求P的坐標，進而得到向量OM、OP的坐標，計算這2個向量坐標的數量積，得出定值．

解答：解：（1）∵左右焦點分別為F₁，F₂，短軸兩個端點為A，B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形，
∴a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2，∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．（4分）
（2）C（-2，0），D（2，0），設M（2，y₀），P（x₁，y₁），
則

OP

=(x1，y1)，

OM

=(2，y0)．
直線CM：y-0=

y0

4

（x+2），即 y=

y0

4

x+

1

2

y0．（6分）
代入橢圓x²+2y²=4，得(1+

y 2 0

8

)x2+

1

2

y

2 0

x+

1

2

y

2 0

-4=0，故次方程的兩個根分別為-2和x₁，（8分）
由韋達定理可得x₁-2=

-4y02

y02+8

，∴x1= 

-2y02+16

y 2 0 +8

，∴y1=

8y0

y 2 0 +8

．
∴

OP

=( 

-2y02+16

y 2 0 +8

，

8y0

y 2 0 +8

)，（10分）
∴

OP

• 

OM

= 

-4y02+32

y 2 0 +8

+

8y02

y02+8

=

4y02+32

y02+8

=4 （定值）．（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法、2個向量的數量積公式的應用，及一元二次方程根與系數的關系，屬于中檔題．