Question

已知各項均為正數的數列{a_n}前n項和S_n滿足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），（n∈N^*）
（1）求通項a_n；
（2）設b_n=|

Sn

n

-3n+20|，求數列{b_n}前n項和T_n的表達式．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）先根據題設求得a₁，進而根據a_n+1=S_n+1-S_n整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，求得a_n+1-a_n=3，判斷出{a_n}是公差為3，首項為2的等差數列，則數列的通項公式可得；
（2）由（1）求出數列{a_n}前n項和S_n，代入

Sn

n

-3n+20，然后分段求出數列{b_n}前n項和T_n．

解答： 解：（1）由a1=S1=

1

6

（a₁+1）（a₂+1），
解得a₁=1或a₁=2，
由假設a₁=S₁＞1，因此a₁=2，
又由an+1=Sn+1-Sn=

1

6

(an+1+1)(an+1+2)-

1

6

(an+1)(an+2)，
得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
即a_n+1-a_n-3=0或a_n+1=-a_n，
∵a_n＞0，
故a_n+1=-a_n不成立，舍去，
因此a_n+1-a_n=3，
從而{a_n}是公差為3，首項為2的等差數列，
故{a_n}的通項為a_n=3n-1；
（2）由（1）得，Sn=na1+

n(n-1)

2

d=2n+

3

2

n(n-1)=

3

2

n2+

1

2

n，
∴

Sn

n

-3n+20=

3

2

n+

1

2

-3n+20=-

3

2

n+

41

2

．
由-

3

2

n+

41

2

＞0，得n＜

41

3

，
∴數列{-

3

2

n+

41

2

}的前13項大于0，自14項起小于0．
又數列{-

3

2

n+

41

2

}的首項為19，公差為-

3

2

．
∴當n≤13時，數列b_n的前n項和T_n=19n+

n(n-1)

2

×(-

3

2

)=-

3

4

n2+

79

4

n．
當n＞13時，T_n=

3

4

n2-

79

4

n+2(-

3

4

×132+

79

4

×13)=

3

4

n2-

79

4

n+260．
∴Tn=

- 3 4 n2+ 79 4 n，n≤13 3 4 n2- 79 4 n+260，n＞13

．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了等差數列前n項和的求法，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．