Question

【題目】在一個半徑為1的半球材料中截取兩個高度均為的圓柱，其軸截面如圖所示．設(shè)兩個圓柱體積之和為．

(1)求的表達式，并寫出的取值范圍；

(2）求兩個圓柱體積之和的最大值．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2)

【解析】試題分析：（1）圓柱的高、底面的半徑和球的半徑是一個直角三角形的三邊，故可以得到兩個圓柱的底面半徑分別為， ，由此可以計算出兩個圓柱的體積之和以及的取值范圍．（2）因為，利用導數(shù)討論該函數(shù)的單調(diào)性，從而求得的最大值為．

解析：（1）自下而上兩個圓柱的底面半徑分別為： ， ．它們的高均為，所以體積之和

．

因為，所以的取值范圍是．

(2) 由，得，令，因為，得． 所以當時， ；當時， ．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當時， 取得極大值也是最大值， 的最大值為．

答：兩個圓柱體積之和的最大值為．