Question

【題目】已知橢圓： 的兩個焦點(diǎn)分別為， ，且點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于異于的不同兩點(diǎn)，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】試題分析：（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)確定出的值，根據(jù)橢圓的性質(zhì)列出與的方程，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程列出關(guān)于與的方程，聯(lián)立求出與的值，從而確定橢圓方程；（2）由題意直線的斜率不等于0，設(shè)直線的方程為， ，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式求得，再求出點(diǎn)到直線的距離，表示出的面積，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出最大值.

試題解析：（1）由題意，焦距，

∴

∴橢圓：

又橢圓經(jīng)過點(diǎn)

∴，

解得或（舍去）

∴

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1），得點(diǎn)

由題意，直線的斜率不等于0，設(shè)直線的方程為， .

聯(lián)立消去，得.

∴， ， ，

∵，

化簡，得

又點(diǎn)到直線的距離為，

∴的面積

令，

則

而函數(shù)在時單調(diào)遞增，

∴在時單調(diào)遞減，

∴當(dāng)即時， 的面積有最大值.