Question

如圖，在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=

3

4

．
（1）求AB的值；
（2）求sin（2A+C）的值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理把AC=2，BC=1，cosC=

3

4

．即可求得AB．
（2）由cosC求得sinC，在由正弦定理求得sinA，進而根據同角三角函數的基本關系求得cosA，用倍角公式求得sin2A和cos2A，進而利用兩角和公式求得答案．

解答：解：（1）由余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cosC=4+1-2×2×1×

3

4

=2．
那么，AB=

2

（2）解：由cosC=

3

4

，且0＜C＜π，
得sinC=

1-cos2C

=

7

4

．由正弦定理，

AB

sinC

=

BC

sinA

，
解得sinA=

BCsinC

AB

=

14

8

．
所以，cosA=

5 2

8

．
由倍角公式sin2A=2sinA•cosA=

5 7

16

，
且cos2A=1-2sin2A=

9

16

，
故sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC=

3 7

8

．

點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．應熟練掌握這兩個的定理的公式和變形公式．