Question

已知函數f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）-

1

2

（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的最大值及取最大值時x的取值集合；
（3）若方程f（x）=k-1在[0，π]內有兩個相異的實數根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的誘導公式與輔助角公式可將函數化為f（x）=sin(2ωx-

π

6

)，利用正弦函數的周期公式可求ω；
（2）由f（x）=sin(2ωx-

π

6

)，可求f（x）的最大值及取最大值時x的取值集合；
（3）作出y=sinx，x∈[-

π

6

，

11π

6

]的圖象，作出y=k-1 的圖象，數形結合可求得k的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

6

)的最小正周期為π，∴ω=1；
（2）當2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，x∈{X|X=kπ+

π

3

}（k∈Z），f（x）_max=1；
（3）∵x∈[0，π]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

11π

6

]，
∵方程f（x）=k-1在[0，π]內有兩個相異的實數根，∴-1＜k-1＜-

1

2

或- 

1

2

＜k-1＜1，
解得，0＜k＜

1

2

或

1

2

＜k＜ 2．

點評：本題考查三角函數的最值，重點考查三角函數中的輔助角公式的應用及數形結合的數學思想，屬于中檔題．