Question

【題目】數列{an}滿足a1=1， （n∈N+）．
（1）證明：數列 是等差數列；
（2）求數列{an}的通項公式an；
（3）設bn=n（n+1）an ， 求數列{bn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知可得 ，

即 ，

即

∴數列 是公差為1的等差數列

（2）解:知 ，

∴

（3）解: 由（2）知bn=n2n

Sn=12+222+323++n2n

2Sn=122+223+…+（n﹣1）2n+n2n+1

相減得： =2n+1﹣2﹣n2n+1∴Sn=（n﹣1）2n+1+2

【解析】（1）由已知中 （n∈N+），我們易變形得： ，即 ，進而根據等差數列的定義，即可得到結論；（2）由（1）的結論，我們可以先求出數列 的通項公式，進一步得到數列{an}的通項公式an；（3）由（2）中數列{an}的通項公式，及bn=n（n+1）an ， 我們易得到數列{bn}的通項公式，由于其通項公式由一個等差數列與一個等比數列相乘得到，故利用錯位相消法，即可求出數列{bn}的前n項和Sn ．
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．