Question

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝.

（1）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）在線段PC上是否存在一點Q（除去端點），使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為？

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）上存在滿足條件.

試題分析：（1）條件中出現了中點，需要證明的結論為線面平行，因此可以考慮構造三角形中位線證明線線平行，因此在矩形中，連結交于，則點為的中點．則為的中位線，從而，又平面平面可知平面；（2）題中出現了線面垂直，因此可以考慮建立空間直角坐標系利用空間向量求解，可以為原點，所在的直線分別為
軸，建立空間直角坐標系，根據條件中數據，可先寫出點的坐標：
，
從而可以得到向量的坐標：，因此可求得平面的法向量為，設直線與平面所成角為，利用即可求得；
（3）假設存在滿足已知條件的，由，得，可分別求得平面的法向量為，再由平面的法向量，則由兩平面所成銳二面角大小為可以得到關于的方程：，可解得或（舍去），方程有解，即說明上存在滿足條件.
試題解析：（1）如圖，在矩形中，連結交于，則點為的中點．在中，點為的中點，點為的中點，∴，又∵平面平面，∴平面；
（2）由，則，由平面平面且平面平面，得平面,∴，又矩形中以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，
∴，
設平面的法向量為，
∵，∴可取，設直線與平面所成角為，
則；
（3）如圖，假設存在點滿足條件，則可設，得，設平面的法向量為，則由得，
由平面與平面所成的銳二面角為得：，
∴或（舍去），∴所求點為的靠近的一個三等分點，即在上存在滿足條件．