Question

(本小題滿分15分) 如圖，在三棱錐中，，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，底面．
（1）求證：平面；
（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值；
（3）當(dāng)為何值時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心．

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）
（3）

（1）證明：平面，．
以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則．
設(shè)，則．
為的中點(diǎn)，．
，．
，平面．
（2），即，，
可求得平面的法向量．
．
設(shè)與平面所成的角為，
則．
與平面所成的角的正弦值為．
（3）的重心，，平面，．又，．．
，即．反之，當(dāng)時(shí)，三棱錐為正三棱錐．
在平面內(nèi)的射影為的重心．