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(本小題滿分12分)
如圖，四棱錐

中，

為矩形，平面

平面

.
求證：

若

問

為何值時，四棱錐

的體積最大？并求此時平面

與平面

夾角的余弦值.

（1）詳見解析，（2）

時，四棱錐的體積P-ABCD最大. 平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為

試題分析：（1）先將面面垂直轉化為線面垂直：ABCD為矩形，故AB

AD，又平面PAD

平面ABCD，平面PAD

平面ABCD=AD，所以AB

平面PAD，再根據線面垂直證線線垂直：因為PD

平面PAD，所以AB

PD
（2）求四棱錐體積，關鍵要作出高.這可利用面面垂直性質定理：過P作AD的垂線，垂足為O，又平面PAD

平面ABCD，平面PAD

平面ABCD=AD，所以PO

平面ABCD，下面用

表示高及底面積：設

，則

，故四棱錐P-ABCD的體積為

故當

時，即

時，四棱錐的體積P-ABCD最大.
求二面角的余弦值，可利用空間向量求解，根據題意可建立空間坐標系，分別求出平面BPC的法向量及
平面DPC的法向量，再利用向量數量積求夾角余弦值即可.
試題解析：（1）證明：ABCD為矩形，故AB

AD，
又平面PAD

平面ABCD
平面PAD

平面ABCD=AD
所以AB

平面PAD，因為PD

平面PAD，故AB

PD
（2）解：過P作AD的垂線，垂足為O，過O作BC的垂線，垂足為G，連接PG.
故PO

平面ABCD，BC

平面POG,BC

PG
在直角三角形BPC中，

設

，則

，故四棱錐P-ABCD的體積為

因為

故當

時，即

時，四棱錐的體積P-ABCD最大.

建立如圖所示的空間直角坐標系，

故

設平面BPC的法向量

，則由

得

解得

同理可求出平面DPC的法向量

，從而平面BPC與平面DPC夾角

的余弦值為

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？

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如圖，四棱錐

中,

⊥平面

∥

，

分別為線段

的中點.

（1）求證：

∥平面

;
（2）求證：

⊥平面

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如圖，四棱錐

的底面

是平行四邊形，

，

分別是棱

的中點.
（1）證明

平面

；
（2）若二面角P-AD-B為

，
①證明：平面PBC⊥平面ABCD
②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.

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如圖，在正三棱柱

中，點

在邊

上，

（1）求證：

平面

；
（2）如果點

是

的中點，求證：

//平面

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中，

，

面

，

，求面

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