Question

已知點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數）都在函數的圖象上．
（1）若數列{a_n}是首項為1，公差也為1的等差數列，求{b_n}的通項公式；
（2）對（1）中的數列{a_n}和{b_n}，過點P_n，P_n+1的直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為c_n，試證明：對一切正整數n，；
（3）對（1）中的數列{a_n}，對每個正整數k，在a_k與a_k+1之間插入3^k-1個3，得到一個新的數列{d_n}，問a₅是數列{d_n}中的第幾項．若設S_n是數列{d_n}的前n項和，試求S₁₀₀的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題中已知條件以及等差數列的基本性質，先求出b_n的通項公式，然后證明為常數即可證明；
（2）先求出直線P_nP_n+1的方程，然后求出它與x軸，y軸分別交于點A_n（n+2，0），，表示出所圍成的三角形面積為c_n，最后利用作差法判定數列{c_n}的單調性，從而求出c_n范圍；
（3）從第一項a₁=1開始到a₅=5為止，共插入了3+3¹+3²+3³=40個3，從而確定a₅=5是數列{d_n}中的第45項，在數列{d_n}中，a₅=5到a₆=6中間插入了3⁴=81個3，則S₁₀₀=S₄₅+55×3，從而求出所求．
解答：（本題滿分（18分），第1題（4分），第2題（6分），第3題8分）
解：（1）由已知，a_n=n，所以，（n為正整數）．…（4分）
（2）因a_n=n，，∴，，…（5分），直線P_nP_n+1的方程為，…（6分），
它與x軸，y軸分別交于點A_n（n+2，0），，
∴，…（8分），
∴數列{c_n}隨著n的增大而減小 …（9分）
∴．…（10分）
（3）∵a_n=n，∴數列{d_n}中，從第一項a₁=1開始到a₅=5為止，
共插入了3+3¹+3²+3³=40個3，∴a₅=5是數列{d_n}中的第45項…（14分）
在數列{d_n}中，a₅=5到a₆=6中間插入了3⁴=81個3
∴S₁₀₀=S₄₅+55×3=（1+2+3+4+5）+40×3+55×3=300．…（18分）
點評：本題考查了等差數列和等比數列的基本性質以及函數的綜合應用，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．