Question

規定A=x(x-1)…(x-m+1)，其中x∈R，m為正整數，且A=1，這是排列數A(n，m是正整數，且m≤n)的一種推廣．

  （1）求A的值；

  （2）排列數的兩個性質：①A=nA，②A+mA=A(其中m，n是正整數)．是否都能推廣到A(x∈R，m是正整數)的情形?若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；

  （3）確定函數A的單調區間．

Answer 1

見解析

解析:

解:(1)=(-15)(-16)(-17)=   - 4080；

(2)性質①、②均可推廣，推廣的形式分別是

①，②(x∈R，m∈N⁺)

事實上，在①中，當m=1時，左邊==x，右邊=x=x，等式成立；  

當m≥2時，左邊=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)=x{(x-1)(x-2)…[(x-1)-(m-1)+1]}=x，

因此，①成立；

在②中，當m=l時，左邊=+=x+l==右邊，等式成立；

當m≥2時，左邊=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)…(x-m+2)

=x(x-1)(x-2)…(x-m+2)[(x-m+1)+m]

=(x+1)x(x-1)(x-2)…[(x+1)-m+1]==右邊，

因此②(x∈R，m∈N⁺)成立．

(3)先求導數，得()^/=3x²-6x+2．令3x²-6x+2>0，解得x<或x>

因此，當x∈(-∞，)時，函數為增函數，當x∈(，+∞)時，函數也為增函數．

令3x²-6x+2≤0, 解得≤x≤，因此,當x∈[,]時,函數為減函數．

∴函數的增區間為(-∞，),(，+∞)；減區間為[,]．