Question

【題目】設函數f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）．
（1）若函數f（x）是定義在R上的偶函數，求a的值；
（2）若不等式f（x）+f（﹣x）≥mt+m對任意x∈R，t∈[﹣2，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數f（x）是定義在R上的偶函數，得f（x）=f（﹣x）恒成立，

則 ，

∴ ，

∴（2a+1）x=0恒成立，則2a+1=0，故

（2）解：

= ．

當且僅當x=0時取等號，

∴mt+m≤1對任意t∈[﹣2，1]恒成立，

令h（t）=mt+m，

由 ，解得 ，

故實數m的取值范圍是 ．

【解析】（1）由偶函數的定義f（﹣x）=f（x）恒成立可求；（2）不等式f（x）+f（﹣x）≥mt+m對任意x∈R成立，等價于[f（x）+f（﹣x）]min≥mt+m，利用基本不等式可求得[f（x）+f（﹣x）]min ， 然后構造關于t的一次函數，利用一次函數的性質可求得m范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．