Question

【題目】如圖，在三棱柱中，、、、分別是、、、的中點.

（1）求證：、、、四點共面；

（2）求證：平面平面；

（3）若、分別為、的中點，求證：平面平面.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）證明出，即可證明出、、、四點共面；

（2）證明，可得平面，證明四邊形是平行四邊形，可得出，可證明出平面，再利用面面平行的判定定理可證明出結論；

（3）連接交于點，可得出，可證明出平面，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，可得出平面，然后利用面面平行的判定定理可證明出結論.

（1）是的中位線，.

在三棱柱中，且，則四邊形為平行四邊形，

，，因此，、、、四點共面；

（2）、分別為、的中點，.

平面，平面，平面.

在三棱柱中，且，則四邊形為平行四邊形，

且，

、分別為、的中點，且，

四邊形是平行四邊形，則，

平面，平面，平面.

，且平面，平面，平面平面；

（3）如圖所示，連接，設與的交點為，連接，

四邊形是平行四邊形，是的中點，

為的中點，.

平面，平面，平面.

由（1）知，四邊形為平行四邊形，則且，

、分別為、的中點，所以，且，

四邊形為平行四邊形，，

又平面，平面，平面.

又，平面，平面，

平面平面.