Question

選修4-4：坐標系與參數方程
直線l：

x=a+4t y=-1-2t

(t為參數)，圓C：ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)（極軸與x軸的非負半軸重合，且單位長度相同）．
（1）求圓心C到直線l的距離；
（2）若直線l被圓C截的弦長為

6 5

5

，求a的值．

Answer 1

分析：（I） 把直線的參數方程化為普通方程，把圓的極坐標方程化為普通方程，由點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離．
（II）利用弦心距、半徑、半弦長之間的關系建立關于a的方程，從而解出a的值．

解答：解：（I）把

x=a+4t y=-1-2t

 用代入法消去參數t，化為普通方程為 x=a+4（

y+1

-2

 ），即 x+2y+2-a=0．
 ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)，即 ρ²=2

2

ρ （

2

2

cosθ-

2

2

sinθ ）=2ρ cosθ-2ρsinθ，
化為直角坐標系中的方程為   x²+y²=2x-2y，即  x²+y²-2x+2y=0．
∴圓心（1，-1）到直線x+2y+2-a=0 的距離為

|1-2+2-a|

1+4

=

5 |1-a|

5

．
（II）由弦心距、半徑、半弦長之間的關系得：(

3

5

)2+(

|a-1|

5

)2=(

2

)2，∴a²-2a=0，a=0，或a=2．

點評：本題考查把參數方程化為普通方程、把極坐標方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用．