Question

一動圓與圓外切，與圓內切.
(I)求動圓圓心M的軌跡方程．(II)試探究圓心M的軌跡上是否存在點，使直線與的斜率？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）

Answer 1

(I) (II) 圓心M的軌跡上存在四個點，使直線與的斜率.

 解：（1）設動圓圓心為，半徑為．
由題意，得，，                        (1分)
, 由橢圓定義知在以為焦點的橢圓上，    (3分)
且，．                (5分)
動圓圓心M的軌跡方程為．         (6分)
(II) 由（I）知動圓圓心M的軌跡是橢圓，它的兩個焦點坐標分別為和 (7分)                                        
設是橢圓上的點，由得     (9分)
即，這是實軸在軸，頂點是橢圓的兩個焦點的雙曲線，它與橢圓的交點即為點P。由于雙曲線的兩個頂點在橢圓內，根據橢圓和雙曲線的對稱性可知，它們必有四個交點.
即圓心M的軌跡上存在四個點，使直線與的斜率.    (12分)