Question

【題目】已知橢圓：經過，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設斜率存在的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，，且與圓心為的定圓相切.直線：（）與圓交于兩點，.求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓的定義和離心率的定義即可求出橢圓C的方程，（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），l的方程為y=kx+m，根據韋達定理，可得5m2=k2+1，再根據點到直線的距離公式分別求出|MN|=2，G到直線l′的距離為，結合三角形的面積公式和基本不等式即可求出答案.

解析：

（1）因為經過點，所以，

又橢圓的離心率為，所以

所以橢圓的方程為.

（2）設設，的方程為

由，得，

所以

因為，

所以

整理得，

所以到的距離為，

所以直線恒與定圓相切，即圓的方程為

又到的距離為，所以，且，所以，

因為到的距離為，

所以

，當且僅當即時取“=”

所以面積的最大值為.