Question

不等式選講
（1）解不等式|2x-1|＜|x|+1
（2）已知2x+3y+4z=10，求x²+3y²+z²的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據絕對值的幾何意義，分類討論，求出不等式的解集，再求并集即可；
（2）由柯西不等式可得(x2+3y2+z2)(22+(

3

)2+42)≥(2x+3y+4z)2，利用條件，即可求得x²+3y²+z²的最小值．

解答：解：（1）當x＞

1

2

時，2x-1＜x+1，x＜2，此時，

1

2

＜x＜2
當0≤x≤

1

2

時，1-2x＜x+1，x＞0，此時，0＜x≤

1

2

當x＜0時，1-2x＜-x+1，x＞0，此時，無解
綜上可得，不等式的解集為{x|0＜x＜2}
（2）由柯西不等式可得(x2+3y2+z2)(22+(

3

)2+42)≥(2x+3y+4z)2，
∴x2+3y2+z2≥

100

23

，
當且僅當

x

2

=

3 y

3

=

z

4

時取等號，
即x=

20

23

，y=

10

23

，z=

40

23

時取等號，x²+3y²+z²的最小值為

100

23

點評：本題考查解不等式，考查柯西不等式的運用，分類討論，靈活運用柯西不等式是解題的關鍵．