Question

A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O₁與圓O₂內切于點A，其半徑分別為r₁與r₂（r₁＞r₂ ）．圓O₁的弦AB交圓O₂于點C （ O₁不在AB上）．求證：AB：AC為定值．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

1 1 2 1

，向量β=

1 2

．求向量

α

，使得A²

α

=

β

．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓

x=5cosφ y=3sinφ

（φ為參數）的右焦點，且與直線

x=4-2t y=3-t

（t為參數）平行的直線的普通方程．
D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
解不等式：x+|2x-1|＜3．

Answer 1

分析：A、如圖，利用 EC∥DB，AB：AC=AD：AE=2r₁：2r₂，證出結論．
B、設向量

α

=

.

x y

.

，由 A²

α

=

β

，利用矩陣的運算法則，用待定系數法可得x 和 y 的值，從而求得向量

α

．
C、把橢圓的參數方程化為普通方程，求出右焦點的坐標，把直線參數方程化為普通方程，求出斜率，用點斜式
求得所求直線的方程．
D、原不等式可化為

x+2x-1＜3 2x-1≥0

，或

x-(2x-1)＜3 2x-1＜0

，分別解出這兩個不等式組的解集，
再把解集取并集．

解答：解：A、如圖：連接AO₁并延長，交兩圓于D，E，則O₂在AD上，根據直徑對的圓周角等于90°可得，∠ACE=∠ABD=90°，
∴EC∥DB，∴AB：AC=AD：AE=2r₁：2r₂=r₁：r₂  為定值．

B、A²=

.

1 1 2 1

.

 

.

1 1 2 1

.

=

.

3 2 4 3

.

，設向量

α

=

.

x y

.

，由 A²

α

=

β

 可得

.

3 2 4 3

.

.

x y

.

=

.

1 2

.

，∴

3x=2y=1 4x+3y=2

，解得 x=-1，y=2，
∴向量

α

=

.

1 2

.

．
C、橢圓

x=5cosφ y=3sinφ

（φ為參數）的普通方程為

x2

25

+

y2

9

=1，右焦點為（4，0），
直線

x=4-2t y=3-t

（t為參數） 即 x-2 y+2=0，斜率等于

1

2

，故所求的直線方程為
y-0=

1

2

（x-4），即 x-2 y-4=0．
D、原不等式可化為 

x+2x-1＜3 2x-1≥0

，或

x-(2x-1)＜3 2x-1＜0

，
解得 

1

2

≤x＜

4

3

，或-2＜x＜

1

2

，故不等式的解集為 {x|-2＜x＜

4

3

}．

點評：本題考查圓與圓的位置關系，參數方程與普通方程的互化，矩陣的運算法則，絕對值不等式的解法．