Question

選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|2x-1|+|x+2|．
（1）解不等式f（x）＞3；
（2）若關于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對x的取值情況分類討論，去掉絕對值符號，再解不等式f（x）＞3即可；
（2）由（1）可求得f（x）_min=

5

2

，解不等式

5

2

≤|2a-1|即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）①當x≥

1

2

時，f（x）=2x-1+x+2=3x+1，
所以由f（x）＞3得：x＞

2

3

…（1分）
②當-2≤x＜

1

2

時，f（x）=1-2x+x+2=3-x，
所以由f（x）＞3得：x＜0，
又-2≤x＜

1

2

，所以-2≤x＜0…（2分）
③當x＜-2時，f（x）=1-2x-x-2=-3x-1，
所以由f（x）＞3得：x＜-

4

3

，
又x＜-2，所以x＜-2…（3分）
綜上，不等式不等式f（x）＞3的解集為{x|x＞

2

3

或-2≤x＜0或x＜-2}={x|x＜0或x＞

2

3

}…（5分）
（2）f（x）≤|2a-1|的解集不是空集?f（x）_min≤|2a-1|…（6分）
由（1）知：f（x）=

3x+1，x≥ 1 2 -x+3，-2≤x＜ 1 2 -3x-1，x＜-2

，
∵當x≥

1

2

時，f（x）≥

5

2

；當-2≤x＜

1

2

時，

5

2

＜f（x）≤5；當x＜-2時，f（x）＞5；
∴f（x）≥

5

2

，f（x）_min=

5

2

…（8分）
∴

5

2

≤|2a-1|，解得a≥

7

4

或a≤-

3

4

，
∴a的取值范圍為（-∞，-

3

4

]∪[

7

4

，+∞）…（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，通過對x的取值情況分類討論，去掉絕對值符號是關鍵，考查分類討論思想與方程思想，考查運算能力，屬于中檔題．