Question

A，B是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩點，且OA⊥OB．
（1）求A，B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；
（2）求弦AB中點P的軌跡方程；
（3）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）先設出A，B，中點P的坐標，分別表示出AO，OB的斜率，利用二者垂直判斷出二者斜率乘積為-1求得x₁x₂+y₁y₂=0把拋物線的方程代入即可求得x₁x₂和y₁y₂．
（2）設出AO的方程代入拋物線求得x的值，進而表示出A的坐標，同理可表示出B的坐標，進而可表示出x₀和y₀，消去k即可求得二者的關系式，進而求得AB中點P的軌跡方程；
（3）根據S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM，表示出△AOB面積，利用基本不等式求得面積的最小值．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點P（x₀，y₀），
（1）k_0A=

y1

x1

，k_OB=

y2

x2

，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴

y1 2

2p

•

y2 2

2p

+y₁y₂=0
∴y₁y₂=-4p²，x₁x₂=4p²，
（2）設OA：y=kx，代入y²=2px得x=0，x=

2p

k2

，
∴A（

2p

k2

，

2p

k

），同理以-

1

k

代k得B（2pk²，-2pk）
∴

x0=p(k2+ 1 k2 ) y0=p( 1 k -k )

，消去k求得

x0

p

=（

y0

p

）²+2，即y₀²=px₀-2p²，即中點P軌跡方程為y²=px-2p²．
（3）S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM=

1

2

|OM|（|y₁|+|y₂|）=p（|y₁|+|y₂|）≥2p

|y1y2 |

=4p²
當且僅當|y₁|=|y₂|時，等號成立

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關鍵是靈活利用韋達定理，直線方程和曲線的方程聯立等．