Question

已知A、B是拋物線y²=2px（p＞0）上異于原點O的兩點，則“

OA

•

OB

=0”是“直線AB恒過定點（2p，0）”的（　　）

• A、充分非必要條件
• B、充要條件
• C、必要非充分條件
• D、非充分非必要條件

Answer 1

分析：由“

OA

•

OB

=0”推“直線AB恒過定點（2p，0）”聯立直線方程與拋物線方程，利用消元法得到關于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，建立關于參數k，b的關系，消去b可得y=kx-2pk=k（x-2p），顯然直線恒過（2p，0），注意對直線的斜率的討論；由“直線AB恒過定點（2p，0）”推“

OA

•

OB

=0”設l：x=ty+2p代入拋物線y²=2px消去x得，y²-2pty-4p²=0，利用韋達定理即可求得∴“

OA

•

OB

=0”，因此“

OA

•

OB

=0”是“直線AB恒過定點（2p，0）”的充要條件．

解答：解：由“

OA

•

OB

=0”推“直線AB恒過定點（2p，0）”
設點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（I）當直線l有存在斜率時，設直線方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．
聯立方程得：

y=kx+b y2=2px

消去y得k²x²+（2kb-2p）x+b²=0
由題意：x1x2=

b2

k2

，y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=

2pb

k

又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，
即

b2

k2

+

2pb

k

=0，解得b=0（舍去）或b=-2pk
故直線l的方程為：y=kx-2pk=k（x-2p），故直線過定點（2p，0）
（II）當直線l不存在斜率時，設它的方程為x=m，顯然m＞0
聯立方程得：

x=m y2=2x

解得 y=±

2m

，即y₁y₂=-2m
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2
可知直線l方程為：x=2，故直線過定點（2，0）
綜合（1）（2）可知，滿足條件的直線過定點（2，0）．
由“直線AB恒過定點（2p，0）”推“

OA

•

OB

=0”
設l：x=ty+2p代入拋物線y²=2px消去x得，
y²-2pty-4p²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-4p²
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+2p）（ty₂+2p）+y₁y₂
=t²y₁y₂+2pt（y₁+y₂）+4p²+y₁y₂
=-4p²t²+4p²t²+4p²-4p²=0．
∴“

OA

•

OB

=0”是“直線AB恒過定點（2p，0）”的充要條件．
故選B．

點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系，以及證明直線恒過定點，以及充分條件和必要條件的判斷，同時考查學生的計算能力，屬于中檔題題．