Question

設A、B是拋物線y²=x上的兩點，O為原點，且OA⊥OB，則直線AB必過定點

 

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Answer 1

分析：聯立直線方程與拋物線方程，利用消元法得到關于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，建立關于參數k，b的關系，消去b可得y=kx-k=k（x-1），顯然直線恒過（1，0），注意對直線的斜率的討論．

解答：解：設點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（1）當直線l有存在斜率時，設直線方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．（2分）
聯立方程得：

y=kx+b y2=x

消去y得k²x²+（2kb-1）x+b²=0
由題意：x1x2=

b2

k2

，y₁y₂=

b

k

（5分）
又因為OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，（7分）
即

b2

k2

+

b

k

=0，
解得b=0（舍去）或b=-k（9分）
故直線l的方程為：y=kx-k=k（x-1），故直線過定點（1，0）（11分）
（2）當直線l不存在斜率時，設它的方程為x=m，顯然m＞0
聯立方程得：

x=m y2=x

解得 y=±

m

，即y₁y₂=-m
又因為OA⊥OB，所以可得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-m=0，解得m=0（舍去）或m=1
可知直線l方程為：x=1，故直線過定點（1，0）
綜合（1）（2）可知，滿足條件的直線過定點（1，0）．
故答案為：（1，0）．

點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系，以及證明直線恒過定點與直線的設法等問題，屬于中檔題型．