Question

斜率為1的直線L經過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F，且交拋物線于A，B兩點，若AB的中點到拋物線準線的距離為2，則p的值為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于直線過其焦點且斜率為1，可得方程，與拋物線的方程聯立，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系和中點坐標公式可得p．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由于直線過其焦點且斜率為1，可得方程為y=x-

p

2

．
代入拋物線方程可得x2-3px+

p2

4

=0
∴x₁+x₂=3p，
∵AB的中點到拋物線準線的距離為2，
∴3p+p=4，
解得p=1．
故答案為：1．

點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質、根與系數的關系和中點坐標公式，屬于基礎題．