Question

【題目】設f（x）=ex﹣ax（a∈R），e為自然對數的底數．
（1）若a=1時，求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程；
（2）求函數f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=ex﹣x，

所以f′（x）=ex﹣1；

∴f′（0）=e0﹣1=0，f（0）=e0﹣0=1；

所以曲線y=f（x）在x=0的切線方程為y=1

（2）解：f′（x）=ex﹣a；

（i）當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，即函數f（x）在[0，1]上為增函數，

所以函數f（x）在[0，1]上的最小值為f（0）=1

（ii）當a＞0時，令f′（x）=0得到x=lna；

若lna≤0，即0＜a≤1時，在[0，1]上，f′（x）＞0，函數f（x）在[0，1]上為增函數，

所以函數f（x）在[0，1]上的最小值為f（0）=1；

若lna≥1，即a≥e時，在[0，1]上，f′（x）＜0，函數f（x）在[0，1]上為減函數，

所以函數f（x）在[0，1]上的最小值為f（1）=e﹣a；

若0＜lna＜1，即1＜a＜e時，在[0，lna）上f′（x）＜0，在（lna，1]上f′（x）＞0，

即函數f（x）在[0，lna）上單調遞減，在（lna，1]上單調遞增，

所以函數f（x）在[0，1]上的最小值為f（lna）=a﹣alna；

綜上所述，當a≤1時，函數f（x）在[0，1]上的最小值為1；

當1＜a＜e時，函數f（x）在[0，1]上的最小值為e﹣a；

當a≥e時，函數f（x）在[0，1]上的最小值為a﹣alna

【解析】（1）求出函數的導數，計算f′（0），f（0），求出切線方程即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值即可．
【考點精析】掌握函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．