Question

【題目】已知f（x）= ．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（2）證明f（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)；
（3）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：（x）是奇函數(shù)，理由如下：

∵f（x）的定義域?yàn)镽，且f（﹣x）=﹣ =﹣f（x），

∴f（x）是奇函數(shù)

（2）證明： f（x）= =1﹣

設(shè)x1＜x2，則

f（x1）﹣f（x2）=1﹣ ﹣﹣（1﹣ ）=

∵y=10x為增函數(shù)，

∴當(dāng)x1＜x2時(shí)， ＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在定義域上為增函數(shù)．

（3）解：不等式可化為f（1﹣m）＞﹣f（1﹣m2）

由（1）知f（x）是奇函數(shù)，

∴f（1﹣m）＞f（m2﹣1）

由（2）知f（x）在定義域上為增函數(shù)，

∴1﹣m＞m2﹣1

解得﹣2＜m＜1）

【解析】（1）利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷證明f（﹣x）=﹣ =﹣f（x），即可判定函數(shù)的奇偶性；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)x1＜x2 ， 利用作差法證明f（x1）＜f（x2），即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，化抽象函數(shù)為具體函數(shù)，即可解不等式．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)，掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．