精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

（1）已知-1≤x≤2，且x≠0，求lg|x|+lg|7-x|的最大值．
（2）已知x∈R，求函數y=3（4^x+4^-x）-10（2^x+2^-x）的最小值．
（3）已知2^x≤256且 $數學公式$ ，求函數 $數學公式$ 的最大值和最小值．

解：（1）lg|x|+lg|7-x|=lg|7x-x²|．∵-1≤x≤2∴7x-x²∈[-8，10]，|7x-x²|∈[0，10]∴最大值為1（此時x=2）
（2）令t=（2^x+2^-x）（t≥2），則y=3t²-10t-6（t≥2），∴y≥-14（此時x=1）
（3）由已知， $\text{[math]}$ ，f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）=log₂²x-3log₂x+2，令t=log₂x
則y=t²-3t+2，函數f（x）的最小值為 $\text{[math]}$ （此時x=8），最大值為2（此時 $\text{[math]}$ ）
分析：（1）將lg|x|+lg|7-x|化為lg|7x-x²|，通過求7x-x^{2_{的取值范圍解決．
（2）令}}t=（2^x+2^-x）進行換元．轉化為二次函數解決．
（3）根據對數的運算法則，，f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）=log₂²x-3log₂x+2，令t=log₂x，轉化為二次函數解決．
點評：本題考查對數的運算，二次函數性質、換元法，考查分析解決問題、計算能力．

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知矩陣A=

3	3
2	4

，向量β=

，
（Ⅰ）求矩陣A的特征值和對應的特征向量；
（Ⅱ）求向量α，使得A²α=β．
（2）在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點A、B的極坐標分別為（1，0）、(1，

)，曲線C的參數方程為

x=rcosα

y=rsinα

(α為參數，r＞0）
（Ⅰ）求直線AB的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線AB和曲線C只有一個交點，求r的值．
（3）設不等式|x-2|＞1的解集與關于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數f(x)=a

x-3

5-x

的最大值，以及取得最大值時x的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①已知f(x)+2f(

)=3x，則函數g（x）=f（2^x）在（0，1）上有唯一零點；
②對于函數f(x)=x

的定義域中任意的x₁、x₂（x₁≠x₂）必有f(

x1+x2

)＜

f(x1)+f(x2)

；
③已知f（x）=|2^-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），則必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定義在R上的兩個函數，對任意x、y∈R滿足關系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0時f（x）•g（x）≠0．則函數f（x）、g（x）都是奇函數．
其中正確命題的序號是

①③

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），g（x），h（x），如果存在實數a，b，使得h（x）=af（x）+bg（x），那么稱h（x）為f（x），g（x）的線性生成函數．
（1）給出如下兩組函數，試判斷h（x）是否分別為f（x），g（x）的線性生成函數，并說明理由．
第一組：f(x)=sinx，g(x)=cosx，h(x)=sin(x+

)；
第二組：f（x）=x²-x，g（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
（2）已知f（x）=log₂x，g（x）=log_0.5x的線性生成函數為h（x），其中a=2，b=1．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求實數t的取值范圍；
（3）已知f(x)=x，g(x)=

，x∈[1，10]的線性生成函數h（x），其中a＞0，b＞0．若h（x）≥b對a∈[1，2]恒成立，求實數b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

選修4-5不等式選講
（1）已知x，y，z∈R，且x²+y²+z²=1，求2x+3y+4z的最小值；
（2）解關于x的不等式：|2x+1|+|x+2|＞5．

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科目：高中數學 來源： 題型：

(1)已知函數f(x)=x²,g(x)為一次函數，且為增函數，若f［g(x)］=4x²-20x+15,求g(x)的解析式;

(2)已知af(x)+bf()=cx(a、b、c∈R,ab≠0,a²≠b²),求f(x);