Question

（2012•荊州模擬）請在下面兩題中選做一題，如果多做，則按所做的第一題計分．
選修4-1：幾何證明選講
如圖，割線PBC經過圓心O，PB=OB=1，圓周上有一點D，滿足∠COD=60°，連PD交圓于點E，則PE=

3 7

7

．
選修4-4：坐標系與參數方程
已知直線l經過點P（1，-1），傾斜角的余弦值為-

4

5

，圓C的極坐標方程為ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，設直線l與圓C交于A，B兩點，則弦長|AB|=

7

5

．

Answer 1

分析：（1）先在△POD中由余弦定理求出PD長，再根據割線定理建立關系式，即可算出PE的長；
（2）將圓C化成普通方程得（x-

1

2

）²+（y+

1

2

）²=

1

2

，可得圓心是（

1

2

，-

1

2

）、半徑r=

2

2

．算出l的斜率并利用直線方程的點斜式列式，化簡得直線l方程為3x+4y+1=0，利用點到直線的距離公式算出點C到直線l的距離，再根據垂徑定理加以計算，即可得到直線l被圓C截得的弦長．

解答：解：（1）∵△POD中，OD=1，PO=2，∠POD=120°，
∴由余弦定理，得
PD²=OD²+OP²-2OD•OPcos120°=1+4-2×1×2×（-

1

2

）=7，解得PD=

7

．
又∵根據割線定理，得PE•PD=PB•PC，
∴

7

PE=1×3，解之得PE=

3 7

7

．
（2）由ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，得ρ=

2

(cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

)，
即ρ=cosθ-sinθ，可得ρ²=ρcosθ-ρsinθ．
∴x²+y²=x-y，化簡得（x-

1

2

）²+（y+

1

2

）²=

1

2

圓C是以（

1

2

，-

1

2

）為圓心，半徑r=

2

2

∵直線l經過點P（1，-1），傾斜角的余弦值為-

4

5

，
∴l的斜率k=-

3

4

，得l的方程為y+1=-

3

4

（x-1），化簡得3x+4y+1=0
∵點C到直線l的距離為d=

|3× 1 2 -4× 1 2 +1|

32+42

=

1

10

，
∴由垂徑定理，得直線l被圓C截得的弦長|AB|=2

r2-d2

=

7

5

．
故答案為：

3 7

7

，

7

5

點評：本題著重考查了余弦定理、割線定理、極坐標方程與直角坐標方程的互化、直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．