Question

（2012•荊州模擬）已知數列{a_n}、{b_n}，a_n＞0，a₁=6，點An(an，

an+1

)在拋物線y²=x+1上；點B_n（n，b_n）在直線y=2x+1上．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若f(n)=

an bn

n為奇數 n為偶數

，問是否存在k∈N*，使f（k+15）=2f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，說明理由；
（3）對任意正整數n，不等式

an

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+bn)

-

an-1

n-2+an

≤0成立，求正實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由點An(an，

an+1

)在拋物線y²=x+1上，知a_n+1=a_n+1，由此能求出a_n=n+5．由點B_n（n，b_n）在直線y=2x+1上．能求出b_n=2n+1．
（2）由f(n)=

an，n為奇數 bn，n為偶數

，知當k為奇數時，k+15為偶數，故2（k+15）+1=2（k+5），顯然不成立．當k為偶數時，k+15為奇數，則有k+20=2（2k+1），由此能求出k．
（3）由

an

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+bn)

-

an-1

n-2+an

≤0，得：a≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)，記g（n）=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)，由此能求出正實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵點An(an，

an+1

)在拋物線y²=x+1上，
∴a_n+1=a_n+1，
∵a_n＞0，a₁=6，
∴{a_n}是首項a₁=6，公差d=a_n+1-a_n=1的等差數列，
∴a_n=n+5．
∵點B_n（n，b_n）在直線y=2x+1上．
∴b_n=2n+1…（4分）
（2）f(n)=

an，n為奇數 bn，n為偶數

，
當k為奇數時，k+15為偶數，
∴2（k+15）+1=2（k+5），顯然不成立．
當k為偶數時，k+15為奇數，則有k+20=2（2k+1），解得k=6．…（8分）
（3）由

an

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+bn)

-

an-1

n-2+an

≤0，
得：a≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)，
記g（n）=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)，
則

g(n+1)

g(n)

=

2n+3

2n+5

(1+

1

bn+1

)=

2n+3

2n+5

•

2n+4

2n+3

=

(2n+4)2

2n+5 • 2n+3

＞1
∴g（n+1）＞g（n），即g（n）遞增．
∴g(n)min=g(1)=

1

5

•

4

3

=

4 5

15

，
即0＜a≤

4 5

15

．…（13分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法、實數k是否存在的判斷和求正實數a的取值范圍．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．