Question

已知x₁，x₂是函數f（x）=4cosωxsin（ωx+

π

6

）+1兩相鄰零點，且滿足|x₁-x₂|=π，其中ω＞0．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在區間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,正弦函數的定義域和值域

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數解析式化簡整理，利用兩相鄰零點的距離推斷出函數的最小正周期，進而求得ω．
（2）根據x的范圍，確定2x+

π

6

的范圍，利用三角函數的性質求得函數的最大和最小值．

解答： 解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+

π

6

）+1=2

3

sinωxcosωx+2cos²ωx+1=2（

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx）+2=2sin（2ωx+

π

6

）+2，
∵|x₁-x₂|=π，
∴T=

2π

2ω

π，
∴ω=1．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2，
∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）取最大值4，
當2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

時，f（x）取最小值1．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象和性質．考查了學生對三角函數基礎知識的綜合運用．