Question

已知等差數列{a_n}的公差是d，S_n是該數列的前n項和、
（1）試用d，S_m，S_n表示S_m+n，其中m，n均為正整數；
（2）利用（1）的結論求“已知S_m=S_n（m≠n），求S_m+n”；
（3）若各項均為正數的等比數列{b_n}的公比為q，前n項和為S_n，試類比問題（1）的結論，寫出一個相應的結論且給出證明，并利用此結論求解問題：“已知各項均為正數的等比數列{b_n}，其中S₁₀=5，S₂₀=15，求數列{b_n}的前50項和S₅₀．”

Answer 1

（1）設等差數列{a_n}的首項是a₁，
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d，S_m=ma₁+

m(m-1)

2

d，
∴S_m+n=（m+n）a₁+

(m+n)(m+n-1)

2

d
=（m+n）a₁+

m2+n2+2nm-m-n

2

d
=ma₁+

m(m-1)

2

d+na₁+

n(n-1)

2

d+mnd
=S_m+S_n+mnd；
（2）由條件，可得S_m=ma₁+

m(m-1)

2

d①，S_n=na₁+

n(n-1)

2

d②，
②×n-①×m得：
（m-n）sn=

1

2

nm（m-1）d-

1

2

mn（n-1）d，
整理得mnd=-2s_n，，
則S_m+n=S_m+S_n+mnd=2s_n-2s_n=0．
（3）類比得到等比數列的結論是：若各項均為正數的等比數列{b_n}的公比為q，前n項和為S_n，則對任意正整數m、n，都有s_m+n=s_m+q^ms_n．
證明如下：不妨設m≤n，則s_m+n=（b₁+b₂+…+b_m）+（b_m+1+b_m+2+…+b_n+m）
=s_m+（b₁q^m+b₂q^m+…+b_nq^m）
=s_m+q^m（b₁+b₂+…+b_n）
=s_m+q^ms_n，
∴s_m+n=s_m+q^ms_n．
問題解答如下：由s₂₀=s₁₀₊₁₀=s₁₀+q¹⁰s₁₀，得q¹⁰=

s20-s10

s10

=

15-5

5

=2，
則s₃₀=s₁₀₊₂₀=s₁₀+q¹⁰s₂₀=5+2×15=35，
∴s₅₀=s₂₀₊₃₀=s₂₀+q²⁰s₃₀=15+2²×35=155．