Question

【題目】已知有窮數列共有項，首項,設該數列的前項和為，且其中常數.

（1）求證：數列是等比數列

（2）若，數列滿足，求出數列的通項公式

（3）若（2）中的數列滿足不等式，求出的值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

（3）

【解析】

（1）利用分類討論的思想，分別對時和時進行討論，求得與的關系，即可求解；

（2）結合（1）的結論和條件得的表達式，對進行化簡，結合對數運算即可求得數列的通項公式；

（3）利用分類討論對的大小進行判斷，再結合不等式去絕對值，變形得關于的不等式，即可求解．

（1）當時，，則；

當時，，，

，

，

數列是等比數列．

（2）由（1）得，

，

，

（3）設，解得，又是正整數，于是當時，；

當時，．

原式

．

當，得，，又，

當，3，4，5，6，7時，

原不等式成立．