Question

有下列五個命題：
①“若x+y=0，則x，y互為相反數”的逆命題．
②在平面內，F₁、F₂是定點，丨F₁F₂丨=6，動點M滿足丨MF₁丨-丨MF₂丨=4，則點M的軌跡是雙曲線．
③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三個角成等差數列”的充要條件．
④“若-3＜m＜5，則方程

x2

5-m

+

y2

m+3

=1是橢圓”．
⑤已知向量

a

，

b

，

c

是空間的一個基底，則向量

a

+

b

，

a

-

b

，

c

也是空間的一個基底．
⑥橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為5．
其中真命題的序號是

①③⑤⑥

．

Answer 1

分析：①根據四種命題之間的關系進行判斷．②根據雙曲線的定義進行判斷．③根據等差數列的定義進行判斷．④根據橢圓的定義和方程進行判斷．⑤根據空間向量進行判斷．⑥根據橢圓的定義進行判斷．

解答：解：①若x+y=0，則x，y互為相反數”的逆命題為：若x，y互為相反數，則x+y=0”正確．
②根據雙曲線的定義可知滿足丨MF₁丨-丨MF₂丨=4的點M的軌跡是雙曲線的一支，∴②錯誤．
③若“∠A，∠B，∠C三個角成等差數列，則A+C=2B，∴B=60°，∴③正確．
④當m=1時，方程為

x2

4

+

y2

4

=1，表示圓，∴④錯誤．
⑤設x（

a

+

b

）+y（

a

-

b

）+z

c

=0，則（x+y）

a

+（x-y）

b

+z

c

=0，∵向量

a

，

b

，

c

是空間的一個基底，∴

x+y=0 x-y=0 z=0

，解得x=y=z=0，
∴向量

a

+

b

，

a

-

b

，

c

也是空間的一個基底，正確．
⑥根據橢圓的定義可知，P到兩個焦點的距離之和為2a=10，∴P到另一個焦點的距離為10-5=5．正確．
故答案為：①③⑤⑥．

點評：本題主要考查與圓錐曲線有關的命題的真假，要求熟練掌握橢圓，雙曲線的定義和性質．