Question

對于函數y=f（x），有下列五個命題：
①若y=f（x）存在反函數，且與反函數圖象有公共點，則公共點一定在直線y=x上；
②若y=f（x）在R上有定義，則y=f（|x|）一定是偶函數；
③若y=f（x）是偶函數，且f（x）=0有解，則解的個數一定是偶數；
④若T（T≠0）是函數y=f（x）的周期，則nT（n∈N），也是函數y=f（x）的周期；
⑤f（0）=0是函數y=f（x）為奇函數的充分也不必要條件．
從中任意抽取一個，恰好是真命題的概率為（　　）

• A．

  1

  5

• B．

  2

  5

• C．

  3

  5

• D．

  4

  5

Answer 1

分析：對于①可舉反例f（x）=

1

x

進行判定，對于②可根據偶函數的定義進行判定，對于③可舉反例y=x²進行判定，對于④可根據周期性的定義進行判定，對于⑤可舉反例f（x）=x²進行判定，從而可求出真命題的個數，即可求出所求．

解答：解：①若y=f（x）存在反函數，且與反函數圖象有公共點，則公共點不一定在直線y=x上，如函數f（x）=

1

x

，反函數是其本身，公共點是整個函數圖象；
②若y=f（x）在R上有定義，則y=f（|x|）一定是偶函數，因f（|-x|）=f（|x|）對于任意x恒成立，故正確；
③若y=f（x）是偶函數，且f（x）=0有解，則解的個數一定是偶數不正確，如y=x²，是偶函數，x²=0的解只有一個，不是偶數個；
④若T（T≠0）是函數y=f（x）的周期，則f（x+T）=f（x），從而f（x+nT）=f（x），則nT（n∈N），也是函數y=f（x）的周期；
⑤f（0）=0是函數y=f（x）為奇函數的充分也不必要條件，不正確，f（x）=x²時，f（0）=0，而f（x）=x²是偶函數．
故正確的命題有2個，
則從中任意抽取一個，恰好是真命題的概率為

2

5

故選B．

點評：本題主要考查了命題的真假的判定，以及古典概型的簡單應用，同時考查了反函數、奇偶性、周期性等知識，屬于基礎題．