Question

已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且以拋物線的準線為雙曲線的一條準線．動直線過雙曲線的右焦點且與雙曲線的右支交于兩點．

（1）求雙曲線的方程；

（2）無論直線繞點怎樣轉動，在雙曲線上是否總存在定點，使恒成立？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設，則由題意有：

   ∴，，

故雙曲線的方程為，                         …………… 4分

（2）解法一：由（1）得點為

當直線l的斜率存在時，設直線方程，，

將方程與雙曲線方程聯立消去得：，

∴    解得                   …………… 6分

 假設雙曲線上存在定點，使恒成立，設為

則：

∵，∴，

故得：對任意的恒成立，

∴，解得

∴當點為時，恒成立；                …………… 10分

當直線l的斜率不存在時，由，知點使得也成立．

又因為點是雙曲線的左頂點，                   

所以雙曲線上存在定點，使恒成立．  …………… 12分