Question

（1）求函數f(x)=

x2-5x+6

+

(x-1)0

x+|x|

的定義域．
（2）求函數y=

x2-x

x2-x+1

的值域．

Answer 1

分析：（1）由解析式有意義，可得

x2-5x+6≥0 x-1≠0 x+|x|＞0

，解之可得；（2）方法一：分離常數可得y=1-

1

x2-x+1

，由二次函數的值域和不等式的性質可得；方法二，可得（y-1）x²+（1-y）x+y=0，由判別式法可得．

解答：解：（1）由函數的解析式有意義，可得

x2-5x+6≥0 x-1≠0 x+|x|＞0

…3分，
所以

x≤2，或x≥3 x≠1 x＞0

，解得0＜x＜1或1＜x≤2或x≥3．…5分；
故函數的定義域為（0，1）∪（1，2]∪[3，+∞）…6分
（2）方法一：y=

x2-x

x2-x+1

=1-

1

x2-x+1

，
∵x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

＞0，
∴0＜

1

x2-x+1

≤

4

3

，即-

4

3

≤-

1

x2-x+1

＜0，∴-

1

3

≤y＜1．
可得函數y=

x2-x

x2-x+1

的值域為[-

1

3

，1)．
方法二：由y=

x2-x

x2-x+1

可得（y-1）x²+（1-y）x+y=0．
顯然y≠1，而x∈R，可得△=（1-y）²-4y（y-1）≥0，
解得-

1

3

≤y＜1（因為y≠1）．
故函數y=

x2-x

x2-x+1

的值域為 [-

1

3

，1)．…12分．

點評：本題考查函數的值域的求解，涉及函數定義域的求解，屬中檔題．