Question

已知向量

a

=(sinx， 

3

2

)， 

b

=(cosx， -1)，
（1）求函數f(x)=(

a

+

b

)•

b

的最小正周期及值域；
（2）求函數f(x)=(

a

+

b

)•

b

在[-

π

2

， 0]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由數量積的定義和三角函數的運算可得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），可得周期和值域；（2）由x的范圍可得2x+

π

4

的范圍，可得sin（2x+

π

4

）的范圍，進而可得答案．

解答：解：（1）由題意可得f(x)=(

a

+

b

)•

b

=

a

•

b

+

b

2
=sinxcosx-

3

2

+cos²x+1=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x
=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∴函數f（x）的最小正周期為

2π

2

=π，值域為[-

2

2

，

2

2

]
（2）∵x∈[-

π

2

， 0]，
∴2x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]，
∴f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，

1

2

]
故函數f（x）的值域為：[-

2

2

，

1

2

]

點評：本題考查平面向量的數量積，涉及三角函數的化簡和值域，屬中檔題．