Question

（1）求函數(shù)f(x)=

92x-1- 1 27

的定義域．
（2）求函數(shù)y=4^x-3•2^x+3，x∈[-1，2]的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶次被開數(shù)大于等于0，可得自變量x須滿足：92x-1-

1

27

≥0，將不等式中各指數(shù)式均化為以3為底，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)要得x的范圍，即函數(shù)的定義域；
（2）令t=2^x，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及已知可得t的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域求法，分別求出函數(shù)的最值，可得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）要使函數(shù)f(x)=

92x-1- 1 27

的解析式有意義
自變量x須滿足：
92x-1-

1

27

≥0
即3^4x-2-3^-3≥0
即 4x-2+3≥0
解得x≥-

1

4

故函數(shù)f(x)=

92x-1- 1 27

的定義域?yàn)閇-

1

4

，+∞）
（2）令t=2^x，∵x∈[-1，2]
∴t∈[

1

2

，4]
則y=4^x-3•2^x+3=t²-3t+3=（t-

3

2

）²+

3

4

，
當(dāng)t=

3

2

時，y取最小值

3

4

，當(dāng)t=4時，y取最大值7，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇

3

4

，7]

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的定義域和值域是函數(shù)問題的綜合應(yīng)用，（1）的關(guān)鍵是熟練掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，（2）的關(guān)鍵是利用換元法對函數(shù)的解析式進(jìn)行變形．