Question

設異面直線a與b所成的角為50°，O為空間一定點，試討論，過點O與a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直線l有且僅有幾條？

Answer 1

過點O作a₁∥a，b₁∥b，則相交直線a₁、b₁確定一平面α．a₁與b₁夾角為50°或130°，設直線OA與a₁、b₁均為θ角，作AB⊥面α于點B，BC⊥a₁于點C，BD⊥b₁于點D，記∠AOB=θ₁，∠BOC=θ₂（θ₂=25°或65°），則有cosθ=cosθ₁?cosθ₂．因為0°≤θ₁≤90°，所以0≤cosθ≤cosθ₂．
當θ₂=25°時，由0≤cosθ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；
當θ₂=65°時，由0≤cosθ≤cos65°，得65°≤θ≤90°．
故當θ＜25°時，直線l不存在；當θ=25°時，直線l有且僅有1條；
當25°＜θ＜65°時，直線l有且僅有2條；
當θ=65°時，直線l有且僅有3條；
當65°＜θ＜90°時，直線l有且僅有4條；
當θ=90°時，直線l有且僅有1條．