Question

設異面直線a與b所成的角為50°，O為空間一定點，試討論，過點O與a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直線l有且僅有幾條？

Answer 1

【答案】分析：為了討論：過點O與a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直線l有且僅有幾條，先將涉及到的線放置在同一個平面內觀察，如圖產，只須考慮過點O與直線a₁、b₁所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直線l有且僅有幾條即可，再利用cosθ=cosθ₁•cosθ₂．進行角之間的大小比較即得．
解答：解：過點O作a₁∥a，b₁∥b，則相交直線a₁、b₁確定一平面α．a₁與b₁夾角為50°或130°，設直線OA與a₁、b₁均為θ角，作AB⊥面α于點B，BC⊥a₁于點C，BD⊥b₁于點D，記∠AOB=θ₁，∠BOC=θ₂（θ₂=25°或65°），則有cosθ=cosθ₁•cosθ₂．因為0°≤θ₁≤90°，所以0≤cosθ≤cosθ₂．
當θ₂=25°時，由0≤cosθ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；
當θ₂=65°時，由0≤cosθ≤cos65°，得65°≤θ≤90°．
故當θ＜25°時，直線l不存在；當θ=25°時，直線l有且僅有1條；
當25°＜θ＜65°時，直線l有且僅有2條；
當θ=65°時，直線l有且僅有3條；
當65°＜θ＜90°時，直線l有且僅有4條；
當θ=90°時，直線l有且僅有1條．
點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及空間想象力、轉化思想方法，屬于基礎題．