Question

已知函數f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（Ⅰ）當a=-1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當0≤a＜

1

2

時，討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（I）欲求在點（2，f（2））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=2處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案，若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．

解答：解：（Ⅰ）當a=-1時，f(x)=lnx+x+

2

x

-1，x∈（0，+∞）．
所以f′(x)=

x2+x-2

x2

，x∈（0，+∞）．（求導、定義域各一分）（2分）
因此f′（2）=1．即曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為1．（3分）
又f（2）=ln2+2，（4分）
所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為x-y+ln2=0．（5分）
（Ⅱ）因為f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1，
所以f′(x)=

1

x

-a+

a-1

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

，x∈（0，+∞）．（7分）
令g（x）=ax²-x+1-a，x∈（0，+∞），
①當a=0時，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞），
當x∈（0，1）時，g（x）＞0，此時f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；（8分）
當x∈（1，+∞）時，g（x）＜0，此時f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．（9分）
②當0＜a＜

1

2

時，由f′（x）=0即解得x₁=1，x2=

1

a

-1，此時

1

a

-1＞1＞0，
所以當x∈（0，1）時，g（x）＞0，此時f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；（10分）x∈(1，

1

a

-1)時，g（x）＜0，此時f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；（11分）x∈(

1

a

-1，+∞)時，，此時，函數f（x）單調遞減．（12分）
綜上所述：當a=0時，函數f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；
當0＜a＜

1

2

時，函數f（x）在（0，1）上單調遞減，在(1，

1

a

-1)上單調遞增；
在(

1

a

-1，  +∞)上單調遞減．（13分）

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等知識，解答的關鍵是導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．