Question

【題目】已知拋物線， 是焦點，直線是經過點的任意直線．

（Ⅰ）若直線與拋物線交于、兩點，且（是坐標原點， 是垂足），求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）若、兩點在拋物線上，且滿足，求證：直線必過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

【答案】所求動點M的軌跡方程是 ()．

直線CD的方程可化為． 直線CD恒過定點，且定點坐標為(2，0)．

【解析】(本題滿分12分)本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分．

解 (1) 設動點M的坐標為． …………………1分

∵拋物線的焦點是，直線l恒過點F，且與拋物線交于兩點A、B，

又，

∴． …………………3分

∴，化簡，得． …………………5分

又當M與原點重合時，直線l與x軸重合，故．

∴所求動點M的軌跡方程是 ()．

(2) 設點C、D的坐標為、． …………………………6分

∵C、D在拋物線上，

∴， ，即， ．

又，

∴． ………8分

∵點C、D的坐標為、，

∴直線CD的一個法向量是，可得直線CD的方程為：

，化簡，得

，進一步用，有

．

又拋物線上任兩點的縱坐標都不相等，即．

∴直線CD的方程可化為． ………………………10分

∴直線CD恒過定點，且定點坐標為(2，0)． ………………………12分