Question

【題目】已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)：交于，兩點(diǎn)，且的面積為16（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求的方程；

（2）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)且不與軸垂直，與交于，兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）將代入拋物線(xiàn)方程求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形面積可求得，得拋物線(xiàn)方程；

（2）直接設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入拋物線(xiàn)方程，設(shè)，，則可得，由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得，同時(shí)可得中點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出中垂線(xiàn)方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)及，然后求比值可得．

（1）解：將代入，得，

所以的面積為.

因?yàn)?/span>，所以，

故的方程為.

（2）證明：由題意設(shè)直線(xiàn)的方程為，

由，得.

設(shè)，，則，

所以.

因?yàn)榫�(xiàn)段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，

所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，

令，得，所以的橫坐標(biāo)為，

所以，

故為定值.