Question

【題目】已知函數在處的切線與軸平行．

（Ⅰ）試討論在上的單調性；

（Ⅱ）（ⅰ）設，求的最小值；

（ⅱ）證明： ．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 答案見解析；(Ⅱ) （ⅰ）2.（ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）由函數的解析式可得，滿足題意時，則，據此分類討論可得：

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增．

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減．

（Ⅱ）（ⅰ）由題意可得：，則函數的最小值為.

（ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分析法可得題中的不等式等價于.由導函數的性質可得：，據此即可證得題中的結論.

詳解：（Ⅰ），

當時，時時，

在上單調遞減，在上單調遞增．

當時，時時，

在上單調遞增，在上單調遞減．

（Ⅱ）（ⅰ）∵，

∴當時，，當時，，

∴在單調遞減，在單調遞增∴．

（ⅱ）由（Ⅰ）知，

∴由，可得，

即，

，

，

，

即，

設，

，

在單調遞減，在單調遞增．

，

又∵在時，，

∴成立．

即成立．