Question

（2013•南充一模）某投資商到一開發區投資72萬元建起一座蔬菜加工廠，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元．設f（n）表示前n年的純利潤總和（f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額）．
（1）該廠從第幾年開始盈利？
（2）若干年后，投資商為開發新項目，對該廠有兩種處理方法：①年平均純利潤達到最大時，以48萬元出售該廠；②純利潤總和達到最大時，以16萬元出售該廠，問哪種方案更合算？

Answer 1

分析：（1）根據第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，可知每年的支出構成一個等差數列，故n年的總支出函數關系可用數列的求和公式得到；再根據f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額，可得前n年的純利潤總和f（n）關于n的函數關系式；令f（n）＞0，并解不等式，即可求得該廠從第幾年開始盈利；
（2）對兩種決策進行具體的比較，以數據來確定那一種方案較好．

解答：解：（1）由題意，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，可知每年的支出構成一個等差數列，用g（n）表示前n年的總支出，
∴g（n）=12n+

n(n-1)

2

×4=2n2+10n（n∈N^*）…（2分）
∵f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額
∴f（n）=50n-（2n²+10n）-72=-2n²+40n-72．…（3分）
由f（n）＞0，即-2n²+40n-72＞0，解得2＜n＜18．…（5分）
由n∈N^*知，從第三年開始盈利．…（6分）
（2）方案①：年平均純利潤為

f(n)

n

=40-2（n+

36

n

）≤16，
當且僅當n=6時等號成立．…（8分）
故方案①共獲利6×16+48=144（萬元），此時n=6．…（9分）
方案②：f（n）=-2（n-10）²+128．
當n=10時，[f（n）]_max=128．
故方案②共獲利128+16=144（萬元）．…（11分）
比較兩種方案，獲利都是144萬元，但由于方案①只需6年，而方案②需10年，故選擇方案①更合算．…（12分）

點評：本題以實際問題為載體，考查數列模型的構建，考查解一元二次不等式，同時考查利用數學知識解決實際問題，屬于中檔題．